문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 일반 상대성 이론 (문단 편집) === 수학적 체계 === || {{{#!folding [참고 문서 펼치기 · 접기 ] * [[일반 상대성 이론의 기초 수학]] : 일반 상대성 이론에 활용되는 기초 수학, 특히 미분 기하학에 관한 문서. * [[중력장(일반 상대성 이론)]] : 일반 상대성 이론에 개념적으로 중력장에 대응되는 물리량에 관한 문서. * [[아인슈타인 방정식]] : 일반 상대성 이론의 중력장 방정식 * [[힐베르트 액션]] : 최소 작용의 원리에 따라 아인슈타인 방정식을 유도하는 액션 * [[일반 상대성 이론/심화]] : 기초 수학부터 힐베르트 액션까지 흐름을 강조해 요약한 기존 문서. }}} || 이제, 중력이 기하학, 특히 4차원 시공간의 기하학적 성질로 인해 결정된다는 것을 알았으므로 그것을 표현하는 수학이 필요하다. 이것을 [[미분 기하학]] 또는 리만 기하학이라고 하며, 20세기 초반 아인슈타인이 일반 상대성 이론을 구상하기 직전에야 체계화되었다. 미분 기하학은 임의의 휘어진 공간을 기술할 뿐만 아니라, (공간의 곡률을 포함한) 임의의 함수 또는 그 관계(방정식)들을 일반적인 좌표계에서 어떻게 기술할 것인지도 설명한다. 역사적으로 이것은 아인슈타인이 원래 의도했던 일반 상대성 원리와 연결되어 있다. 우리는 미분 기하학을 바탕으로 일반 상대성 이론의 방정식들을 (물론, 아인슈타인의 일반 상대성 원리와 맞는 방식으로) 체계적으로 도입할 수 있다. 사실, 일반 상대성 이론의 방정식은 단 하나를 제외하고 전부 특수 상대성 이론의 방정식들을 휘어진 시공간 위에 옮겨서 일반화한 것에 불과하다. 그 하나가 바로 중력장 방정식, 혹은 [[아인슈타인 방정식]]{{{-2 Einsteinsche Feldgleichungen}}}이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu})] }}} 이 방정식은 물리학에서 가장 아름다운 방정식의 하나로 꼽힌다. 방정식의 좌변은 중력장, 다시 말해 시공간의 곡률에 관한 정보를 담고 있으며, 우변은 중력장을 형성하는, 혹은 중력장과 연결되어 있는 물질의 분포에 관한 완전히 일반화된 정보를 담고 있다. 이를 통해 우리는 결과적으로 중력장 혹은 시공간의 기하학에 대한 모든 정보를 담고 있는 다음 16개의 양에 관한 전체 함수를 구할 수 있다. 이것을 메트릭 텐서{{{-2 Metric tensor}}}이라고 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle (g_{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03} \\ g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13} \\ g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23} \\ g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33} \end{pmatrix})] }}} 중력장 방정식에 의해 결정된 [math(g_{\mu\nu})]들은 나머지 방정식, 즉 물질에 관한 방정식들이 휘어진 공간에서 어떻게 바뀌는지를 모두 결정하기 때문에 일반 상대성 이론에서 가장 중요한 양이다. 단적으로, 미분과 적분 연산자는 [math(g_{\mu\nu})]의 영향을 받아 다음과 같이 바뀐다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \,\, \rightarrow \,\, \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} + \Gamma_{\mu}\left(g_{\sigma\tau}, \frac{\partial g_{\sigma\tau}}{\partial x^{\alpha}}\right) =: \nabla_{\mu})] [math(\mathrm{d}^4x \,\, \rightarrow \,\, \sqrt{-g}\mathrm{d}^4x)] }}} 간단한 예로, 입자의 운동 방정식을 살펴보자. 특수 상대성 이론에서 아무런 힘을 받지 않는 물체는 [[등속직선운동]]을 하지만 일반 상대성 이론에서는 [math(g_{\mu\nu})]에 따라 다음과 같이 일반화되어 표현된다. || 특수 상대성 이론 : [math(\displaystyle \frac{d^2 x^{\mu}}{d \tau^2} = 0 \quad (\mu = 0, 1, 2, 3))] 일반 상대성 이론 : [math(\displaystyle \frac{d^2 x^\mu}{d \tau^2} = - \sum_{\alpha, \beta = 0}^{3}\Gamma^\mu_{\alpha \beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau})] || 아인슈타인은 자신이 구한 중력장 방정식과 이 운동 방정식으로 뉴턴의 역제곱 법칙을 유도하는 데에 가장 큰 어려움을 겪었다. 일반 상대성 이론은 뉴턴의 중력 이론을 보정한 수준이 아니라 완전히 다른 개념으로부터 구축된 공식이 뉴턴 공식을 포함하는 형식이기 때문이다. 하지만 이것을 해냄으로써 중력이 시공간의 곡률로(도) 설명될 수 있다는 것을 증명하였고, 더 나아가 다음 결과들은 실험적으로 입증되면서 일반 상대성 이론이 뉴턴의 이론보다 훨씬 정확하다는 것을 보여준다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기